Лемниската Жероно

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Лемниската Жероно, построенная с помощью параметрического уравнения в GNU Octave

Лемниска́та Жероно́, или лемниската Гюйгенса — плоская кривая, удовлетворяющая уравнению .

Получила свое название в честь французского математика Камиля-Кристофа Жероно, который описал её свойства в своем учебнике по геометрии, изданном в Париже в 1854 г.

Уравнение кривой в плоских координатах: .

Лемниската Жероно является уникурсальной кривой, поэтому может быть описана в параметрическом виде через рациональные функции:

.

Также параметрический вид через тригонометрические функции:

или

и является одной из фигур Лиссажу с удвоенной частотой колебаний по оси относительно колебаний по оси и нулевым сдвигом фаз.

Построения

[править | править код]

При помощи программы GNU Octave

[править | править код]

Лемниската Жероно может быть построена с помощью GNU Octaveсвободной программной системы для математических вычислений, использующей совместимый с MATLAB язык высокого уровня.

Следующий код, выполняемый в GNU Octave, позволяет построить график лемнискаты Жероно:

a = 1
t=linspace(0,2*pi,1000);

x = a * cos (t)
y = a * sin (2 .* t) / 2
plot(x,y,"b",'LineWidth', 2)

% plot X and Y axis
x=[-1.5*a, 1.5*a]; y=[0, 0]; line(x,y)
x=[0, 0]; y=[-1, 1]; line(x,y)

axis([-1.5*a,1.5*a,-a,a],"equal")

grid on

Результат работы для a=1 приведён в начальной части статьи.

Для построяения кривой используется параметрическая форма расчета координат x и y.

При помощи программы Sage Math

[править | править код]

Построение лемнискаты Жероно в Sage, используя неявно заданную функцию.

Построение в Sage лемнискаты Жероно
Построение в Sage лемнискаты Жероно, используя неявно заданную функцию.

Лемниската Жероно задается с помощью уравнения . По умолчанию принимается значение

## Лемниската Жероно
## x^4=a^2*(x^2-y^2)

a=1
var('x y')
pl=implicit_plot(x^4-(a^2)*(x^2-y^2), (x,-a,a), (y,-a,a),linewidth=2, gridlines=True,frame=False,axes=True)
pl.show()

Литература

[править | править код]
  • Артоболевский И. И. Механизмы в современной технике. — Т. 2. — Изд. 7-е. — М.: Наука, 1979.