Архимедова спираль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Рис. 0
Рис. 1

Архиме́дова спира́ль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см. рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.

Свойства этой спирали описаны древнегреческим учёным Архимедом в его сочинении «О спиралях[англ.]».

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

(1)  

где k — смещение точки M по лучу r при повороте на угол, равный одному радиану.

Повороту прямой на соответствует смещение a = |BM| = |MA| = . Число a — называется «шагом спирали». Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. рис. 2), при вращении по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Рис. 2

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали . При раскручивании спирали расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть чем дальше от центра, тем ближе витки спирали по форме приближаются к окружности.

Площадь сектора

[править | править код]

Площадь сектора OCM:

,

где , , .

При , , , формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

,

где  — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — .

Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.

Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

[править | править код]

Бесконечно малый отрезок дуги равен (см. рис.3):

Рис. 3: Вычисление длины дуги Архимедовой спирали
,

где  — приращение радиуса , при приращении угла на . Для бесконечно малого приращения угла справедливо:

.

Поэтому:

так как и

или

.

Длина дуги равна интегралу от по в пределах от до :

.[1]

Трёхмерное обобщение

[править | править код]

Трёхмерным обобщением архимедовой спирали можно считать проекцию конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса.

Архимедова спираль (черная), как проекция конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса, цилиндрическая спираль (зеленая) и коническая спираль (красная)

Примечания

[править | править код]
  1. Weisstein, Eric W. Archimedes' Spiral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.