Центрированное квадратное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Центрированное квадратное число — это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки, находящиеся на квадратных слоях.

Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решётке. Центрированные квадратные числа, как и фигурные числа, имеют мало практических приложений, если вообще имеют, но они изучаются в занимательной математике за элегантные геометрические и арифметические свойства.

Фигуры для первых четырёх центрированных квадратных чисел показаны ниже:

   

   



   





           

Связь с другими фигурными числами

[править | править код]

n-ое центрированное квадратное число задаётся формулой

Другими словами, центрированное квадратное число — это сумма двух последовательных квадратов. Следующие диаграммы демонстрируют формулу:

   

   



   





           

Формулу можно представить следующим образом

таким образом, n-ое центрированное квадратное число равно половине n-го нечётного квадрата + 1/2, что иллюстрируется ниже:

   

   



   





           

Как и другие центрированные полигональные числа, центрированные квадратные числа могут быть выражены в треугольных числах:

где

есть n-ое треугольное число. Это легко увидеть, если просто удалить центральную точку и разделить оставшиеся на четыре треугольника, как ниже:

   

   



   





           

Разность между двумя последовательными восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число (Conway and Guy, p. 50).

Первые несколько центрированных квадратных чисел[1]:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, …

Все центрированные квадратные числа нечётны, и последняя цифра в десятичном представлении дает последовательность 1-5-3-5-1.

Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4. Отсюда все центрированные квадратные числа и их делители сравнимы с 1 или 5 по модулю 6, 8 или 12.

Все центрированные квадратные числа, за исключением 1, есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13).

Центрированные квадратные простые

[править | править код]

Центрированные квадратные простые — это центрированные квадратные числа, являющиеся также простыми. В отличие от обычных квадратных чисел, которые никогда не являются простыми, несколько центрированных квадратных чисел просты.

Несколько первых центрированных квадратных простых[2]:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, …

Замечательный пример можно увидеть в магическом квадрате 10-го столетия ал-Антаакии.

Примечания

[править | править код]
  1. Последовательность A001844 в OEIS
  2. Последовательность A027862 в OEIS

Литература

[править | править код]
  • Alfred, U. (1962), "n and n + 1 consecutive integers with equal sums of squares", Mathematics Magazine, 35 (3): 155—164, JSTOR 2688938, MR 1571197 {{citation}}: templatestyles stripmarker в |title= на позиции 1 (справка)
  • Beiler, A. H. (1964), Recreations in the Theory of Numbers, New York: Dover, p. 125
  • Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, pp. 41—42, ISBN 0-387-97993-X, MR 1411676