Движение (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Движе́ние (или наложе́ние[1]) — преобразование метрического пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками, то есть если и  — образы точек и , то . Иначе говоря, движение — это изометрия пространства в себя.

Несмотря на то, что движение определяется на всех метрических пространствах, этот термин более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях. В метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии) чаще говорят: изометрия пространства в себя. В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.

Иногда под движением понимают преобразование евклидова пространства, сохраняющее ориентацию. В этом случае, осевая симметрия плоскости движением не считается, а поворот и параллельный перенос считаются движением. Аналогично для общих метрических пространств движением считается элемент группы изометрий из связной компоненты тождественного отображения.

В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.

Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.

Собственные и несобственные движения

[править | править код]

Пусть  — движение евклидова точечного пространства а  — пространство свободных векторов для пространства . Линейный оператор ассоциированный с аффинным преобразованием является ортогональным оператором, и поэтому его определитель может быть равен либо (собственный ортогональный оператор), либо (несобственный ортогональный оператор). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: собственные (если ) и несобственные (если )[2].

Собственные движения сохраняют ориентацию пространства несобственные — заменяют её на противоположную[3]. Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно перемещениями и антиперемещениями[4].

Всякое движение n-мерного евклидова точечного пространства может быть однозначно определено указанием ортонормированного репера в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве ортонормированный репер При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют расстояния между точками пространства (т. e. являются изометриями), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существует[5].

В механике в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (см. механическое движение). Если, следуя П. С. Александрову, называть непрерывным движением такое движение пространства которое непрерывно зависит от параметра (при в механике это соответствует движению абсолютно твёрдого тела), то ортонормированный репер может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаково[6].

Частные виды изометрий

[править | править код]

Любое движение прямой есть либо параллельный перенос (сводящийся к смещению всех точек прямой на один и тот же вектор, лежащий на этой же прямой), либо отражение относительно некоторой точки, взятой на данной прямой. В первом случае движение является собственным, во втором — несобственным[7].

На плоскости

[править | править код]

Любое движение плоскости относится к одному из следующих типов[3]:

Движения первых двух типов — собственные, последних двух — несобственные[8].

В трёхмерном пространстве

[править | править код]

Любое движение трёхмерного пространства относится к одному из следующих типов[3]:

  • Параллельный перенос;
  • Поворот;
  • Винтовое движение — суперпозиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой;
  • Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
  • Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
  • Зеркальный поворот — суперпозиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Движения первых трёх типов исчерпывают класс собственных движений трёхмерного пространства (теореме Шаля), а движения последних трёх типов являются несобственными[8].

В n-мерном пространстве

[править | править код]
Суперпозиция двух отражений относительно непараллельных осей даёт поворот
Суперпозиция двух отражений относительно параллельных осей даёт параллельный перенос

В -мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и суперпозициям тех и других.

В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как суперпозиции (собственных) вращений и зеркальных отражений (т. e. симметрий относительно гиперплоскостей).

Движения как суперпозиции симметрий

[править | править код]

Любую изометрию в -мерном евклидовом пространстве можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отражений[9].

Так, параллельный перенос и поворот — суперпозиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое движение — четырёх.

Общие свойства изометрий

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Учебник Киселёва и учебник Л. С. Атанасянa с соавторами.
  2. Кострикин и Манин, 1986, с. 201—204.
  3. 1 2 3 Егоров И. П. . Движение // Математическая энциклопедия. Т. 2 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. Архивировано 20 ноября 2012 года. — 1104 стб. — Стб. 20—22.
  4. 1 2 Берже, 1984, с. 249.
  5. Александров, 1968, с. 259—262.
  6. Александров, 1968, с. 210, 214.
  7. Александров, 1968, с. 284.
  8. 1 2 Кострикин и Манин, 1986, с. 204.
  9. Берже, 1984, с. 255.
  10. Александров, 1968, с. 267.
  11. Кострикин и Манин, 1986, с. 202.

Литература

[править | править код]