Ядро Джексона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ядром Джексона в теории приближений называется -периодическая функция, задающаяся формулой:

Названо именем учёного, занимавшегося теорией приближений и тригонометрических полиномов — Данхэма Джексона[англ.].

Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму ряда Фурье.

Константа ядра Джексона

[править | править код]

Константа определяется из соотношения и равна

Доказательство

[править | править код]

Используем равенство Парсеваля для случая пространства L2:

Если , то верно следующее тождество:

Необходимо подставить в это равенство

Предварительно необходимо написать выражение для , используя ядро Фейера и ядро Дирихле:


Из этого следует, что


Поменяв местами две суммы и применив соответствующее преобразование для индексов, получим:


Далее, очевидно, что коэффициенты полученного тригонометрического полинома будут коэффициентами Фурье его суммы, то есть

Остаётся лишь подставить эти коэффициенты в соответствующее выражение для интеграла:



А значит, подставив в основное тождество для ядра Джексона, можно получить выражение для константы:

Таким образом, утверждение о константе доказано.

Литература

[править | править код]
  • A.V. Efimov. Jackson Singular Integral (2001). Дата обращения: 11 октября 2010. Архивировано из оригинала 2 октября 2010 года.
  • A. Shadrin. Approximation Theory – Lecture 9 (University of Cambridge - Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics) (2005). Дата обращения: 11 октября 2010. Архивировано из оригинала 5 июня 2011 года.
  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
  • Бари Н.К. Тригонометрические ряды. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — С. 936.
  • D. Jackson. The theory of approximation. — Amer. Math. Soc., 1930.