Эллиптическое уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Гармоническая функция на кольце — решение уравнения Лапласа

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Определение

[править | править код]

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции :

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

,

где .
Матрица называется матрицей главных коэффициентов.
Если все собственные значения матрицы имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:

,

где  — эллиптический оператор.

Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.

Решение эллиптических уравнений

[править | править код]

Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных граничных условиях применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.

Примеры эллиптических уравнений

[править | править код]

В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.

а также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.

Примечания

[править | править код]
  1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики. — 5-е изд. — Москва: Наука, 1977.