Гиперболические уравнения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Гиперболическое уравнение»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Волновой процесс, получаемый при решении уравнения гиперболического типа

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Уравнения второго порядка

[править | править код]

Рассмотрим общий вид скалярного линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции :

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

,

где .
Матрица называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна , то есть матрица имеет положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу[1].

Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:

,

где  — положительно определённый эллиптический оператор, .

Уравнения первого порядка на плоскости

[править | править код]

Уравнение типа

,

где , ,  — квадратные матрицы и  — неизвестные, являются гиперболическими, если матрица имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров[2].

Решение гиперболических уравнений

[править | править код]

Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями. Поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной.

Примеры гиперболических уравнений

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988.
  • Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. — М., Наука, 1984. — 208 с.

Примечания

[править | править код]
  1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.
  2. Bressan, A. Hyperbolic Systems of Conservation Laws. — Oxford university press. — ISBN 0-19-850700-3.
  3. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.