Лемма Кальмана — Якубовича — Попова

Лемма Ка́льмана — По́пова — Якубо́вича — один из основополагающих результатов в области теории управления, связанный с устойчивостью нелинейных систем управления и линейно-квадратичной оптимизацией.

Лемма имеет репутацию одного из наиболее трудных для доказательства результатов в теории управления. Существуют доказательства с помощью методов алгебры, комплексного анализа, оптимального управления и выпуклого программирования.

Названия

Лемма встречается в литературе под различными названиями: лемма Якубовича, лемма Кальмана — Якубовича, лемма Кальмана — Якубовича — Попова (в англоязычных публикациях часто заменяется на «KYP lemma»). Частные случаи этого утверждения известны как лемма о положительно-вещественных матрицах (англ. positive real lemma) и лемма об ограниченно-вещественных матрицах (англ. bounded real lemma). В. А. Якубович в своих работах называл этот результат «частотной теоремой».

Формулировка

Пусть $\Gamma$ — множество чисто мнимых чисел, $\sigma (A)$ — спектр матрицы $A$, $E_{n}$ — единичная матрица размера $n\times n$, $*$ — эрмитово сопряжение. Пусть также пара матриц $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ и $B\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ управляема. Тогда для любой эрмитовой матрицы $G\in \mathbb {C} ^{(n+m)\times (n+m)}$ равносильны следующие утверждения:

• Выполнено частотное условие Попова, то есть для всех $\lambda \in \Gamma \setminus \sigma (A)$

$\left({\begin{array}{c}(\lambda E_{n}-A)^{-1}B\\E_{m}\end{array}}\right)^{*}G\left({\begin{array}{c}(\lambda E_{n}-A)^{-1}B\\E_{m}\end{array}}\right)\geqslant 0;$

• Существует эрмитова матрица $H\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ такая, что

$\left({\begin{array}{cc}A^{*}H+HA&HB\\B^{*}H&0\end{array}}\right)-G\leqslant 0;$

• Существует решение уравнения Лурье, то есть существуют матрицы $H\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ и $h\in \mathbb {C} ^{(n+m)\times m}$ такие, что

$\left({\begin{array}{cc}A^{*}H+HA&HB\\B^{*}H&0\end{array}}\right)-G=-h^{*}h.$

Если матрицы $A$, $B$ и $G$ вещественные, то и матрицы $H$, $h$ могут быть выбраны вещественными. Для того чтобы выполнялись соответствующие равносильные условия со строгими неравенствами, достаточно потребовать, чтобы матрица $A$ была гурвицевой.

Вариации и обобщения

Используя дробно-линейное преобразование, можно показать, что лемма остаётся верной, если $\Gamma$ является произвольной прямой или окружностью на комплексной плоскости.

Аналогом леммы для случая дискретной системы управления служит лемма Кальмана — Сегё.

Лемма тесно связана с такими вопросами теории управления, как разрешимость алгебраического уравнения Риккати и неущербность S-процедуры, используется в теории адаптивного управления и стохастических систем.

Связь леммы с задачами линейно-квадратичной оптимизации послужила основой для создания бесконечномерных вариантов леммы, которые впоследствии стали находить применение при исследовании систем управления, описываемых различными уравнениями в частных производных.

Обобщение леммы на случай упорядоченных полей основывается на решении 17-й проблемы Гильберта.

История

Лемма была впервые сформулирована и доказана В. А. Якубовичем в 1962 году для случая строгого частотного неравенства. Случай нестрогого частотного неравенства и его связь с разрешимостью уравнений Лурье были рассмотрены в 1963 году Р. Кальманом. В обеих статьях рассматривались системы со скалярным входом. Ограничение на размерность управления было снято в 1964 году Ф. Р. Гантмахером и В. А. Якубовичем и, независимо, В.-М. Поповым.