Бесконечномерное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Бесконечномерное пространствовекторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам[1].

Определение

[править | править код]

Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа в нем найдется линейно независимая система, состоящая из векторов[2][3].

Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.

Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов образует базис Шаудера пространства , если каждый элемент представим единственным образом в виде сходящегося ряда [4]. Базис Шаудера существует не всегда.

  • Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному[7].

Примечания

[править | править код]
  1. Функциональный анализ // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 613-615
  2. 1 2 Ефимов, 2004, с. 33.
  3. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 17
  4. Крейн, 1964, с. 74.
  5. Шилов, 1961, с. 182.
  6. Ефимов, 2004, с. 32.
  7. Ефимов, 2004, с. 39.

Литература

[править | править код]
  • Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.
  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
  • под ред. Крейн С.Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1964. — 424 с. — 17 500 экз.