Центральная сила

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сила , действующая на материальную точку P, называется центральной с центром O, если во время движения точки P она действует вдоль линии, соединяющей точки O и P. Математически такая сила может быть записана в сферической системе координат как , где — радиальная составляющая силы, — сферические координаты точки P: удаление от центра и два угла, орт сферической системы, направленный от центра O. В большинстве случаев, хотя и не всегда, подразумевается, что не зависит от углов, то есть что сила имеет вид ; тогда центральная сила гарантированно является консервативной.

Общие свойства центральных сил

[править | править код]
  • Если материальная точка совершает движение под действием центральной силы с центром O, то момент количества движения точки сохраняется, а она сама совершает движение в плоскости, перпендикулярной вектору момента количества движения относительно точки O и проходящей через эту точку O.
  • Если система материальных точек совершает движение под действием центральных сил c общим центром O, то момент количества движения системы сохраняется.
  • Если действующая на точку P (положение которой задаётся радиус-вектором из центра O) центральная сила зависит только от расстояния между O и P, то эта сила является потенциальной: существует функция , называемая потенциалом, такая, что
.
  • Формула Бине позволяет определить центральную силу, если известно уравнение траектории материальной точки, движущейся под её действием, или по заданной центральной силе определить траекторию.

Потенциальность центральной силы

[править | править код]

Доказать или опровергнуть потенциальность силы можно путём взятия её ротора, который для потенциальности должен быть тождественным нулём. Применительно к центральным силам это делается в сферической системе координат с центром О. Ротор записывается:

,

где , , суть компоненты силы в сферической системе. Из записи видно, что при центральной симметрии, то есть для сил класса все шесть производных в выражении ротора оказываются нулевыми. Если же , то потенциальности нет ввиду отличия от нуля производных или .

Примеры центральных сил

[править | править код]
  • Центральная сила ньютоновского притяжения (величина силы пропорциональна )
  • Сила Кулона (величина силы пропорциональна )
  • Сила Гука (величина силы пропорциональна )

Случай сферической симметрии

[править | править код]

При сферической симметрии на равных с центральной силой рассматривается её потенциал (в отсутствие симметрии потенциал не существует ввиду неконсервативности силы). Наиболее важная задача — описание характера движения материальной точки массой в потенциале .

Если центральная сила является притягивающей (), то, в зависимости от условий на сохраняющиеся при движении механическую энергию точки и величину её момента импульса , возможна реализация финитных (с ограниченным диапазоном изменения расстояния от центра) и инфинитных (таких, что частица из бесконечности приближается к центру с последующим уходом на бесконечность) движений. Если центральная сила отталкивающая (), движение всегда инфинитно.

Траектория в виде зависимости азимутального угла от радиуса на участке отдаления частицы от центра записывается как

,

где — наименьшее расстояние. Наибольшее достигаемое бывает конечным () или бесконечным; и , и соответствуют обращению в нуль подкоренного выражения в знаменателе. Финитное движение может происходить по замкнутым или незамкнутым траекториям; условие замкнутости:

,

где — отношение целых чисел. Для потенциалов определённой формы, конкретно и , все траектории финитного движения являются замкнутыми.

Задача о движении частицы в потенциале (сила ) называется задачей Кеплера. Чаще рассматривается ситуация притяжения к центру (); возможные траектории при этом — окружность, эллипс, парабола, гипербола (во всех случаях с фокусом в силовом центре O) и отрезок прямой (падение частицы на центр). В ситуации же отталкивания от центра () возможны гипербола и луч (частица из бесконечности сближается с центром, а затем, не доходя до него, вдоль той же прямой уходит на бесконечность). Траектория-гипербола в случае притяжения огибает центр, а в случае отталкивания не огибает.

  • Формула Бине (механика)
  • Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. колл. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Сов. энциклопедия, 1983. — 323 с.
  • В. К. Иванов Физика: Механика. Колебания. СПб.: Политех-пресс, 2021. – 224 с., см. фрагмент.

Литература

[править | править код]