Теорема отделимости

Теорема отделимости — теорема о топологических свойствах метрического пространства.

Формулировка

Каждое метрическое пространство $X$ нормально, то есть для любых двух замкнутых в $X$ непересекающихся множеств $F_{1}$ и $F_{2}$ , найдутся два открытых множества $G_{1}$ и $G_{2}$ , такие, что $F_{1}\subset G_{1},F_{2}\subset G_{2},G_{1}\cap G_{2}=\varnothing$ .

Доказательство

Возьмем произвольную точку $x\in F_{1}$ и назовем расстоянием от этой точки до множества $F_{2}$ число $\rho (x,F_{2})=\inf _{x_{2}\in F_{2}}\rho (x,x_{2})$ . Такое число существует, так как все числа $\rho (x,x_{2})\geqslant 0$ , то есть их множество ограничено снизу. Покажем, что в нашем случае $\rho (x,F_{2})\neq 0$ . Допустим противное, то есть что $\rho (x,F_{2})=0$ . Это значит, что в множестве $F_{2}$ найдется такая последовательность точек ${\mathcal {f}}x_{(n)}^{2}{\mathcal {g}}$ , что $\rho (x,x_{(n)}^{2})\rightarrow 0$ . Но тогда $x=\lim _{n}x_{(n)}^{2}$ , то есть $x$ есть предельная точка множества $F_{2}$ и, следовательно, в силу замкнутости $F_{2}$ будем иметь $x\in F_{2}$ , что невозможно, ибо $F_{1}.F_{2}=\varnothing$ . Итак, $\rho (x,F_{2})=\rho _{x}^{(2)}>0$ . Аналогично $\rho (y,F_{1})=\rho _{y}^{(1)}>0$ для произвольной точки $y\in F_{2}$ . Рассмотрим множества $G_{1}=\bigcup _{x\in F_{1}}S(x,{\frac {\rho _{x}^{(2)}}{3}})$ и $G_{2}=\bigcup _{y\in F_{2}}S(y,{\frac {\rho _{y}^{(1)}}{3}})$ . Оба эти множества - открытые, как суммы открытых шаров, и очевидно, что $F_{1}\subset G_{1},F_{2}\subset G_{2}$ . Остается доказать, что $G_{1}\cap G_{2}=\varnothing$ . Предположим противное: пусть $z$ - точка из пересечения $G_{1}\cap G_{2}$ . Так как $z\in G_{1}$ , то $z\in S(x_{0},{\frac {\rho _{x_{0}}^{(2)}}{3}})$ для некоторого $x_{0}$ , а так как $z\in G_{2}$ , то $z\in S(y_{0},{\frac {\rho _{y_{0}}^{(1)}}{3}})$ для некоторого $y_{0}$ . Пусть наибольшим из чисел $\rho _{x_{0}}^{(2)}$ и $\rho _{y_{0}}^{(1)}$ будет, например $\rho _{y_{0}}^{(1)}$ . Тогда $\rho _{y_{0}}^{(1)}=\inf _{x\in F_{1}}\rho (y_{0},x)\leqslant \rho (x_{0},y_{0})\leqslant \rho (x_{0},z)+\rho (z,y_{0})<{\frac {\rho _{x_{0}}^{(2)}}{3}}+{\frac {\rho _{y_{0}}^{(1)}}{3}}\leqslant {\frac {2\rho _{y_{0}}^{(1)}}{3}}<\rho _{y_{0}}^{(1)}$ , и мы пришли к абсурду. Поэтому $G_{1}\cap G_{2}=\varnothing$ , и теорема полностью доказана.