Сжимающее отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Определение

[править | править код]

Пусть на метрическом пространстве определено отображение . Оно называется сжимающим на , если существует такое неотрицательное число , что для любых двух точек выполняется неравенство

.

Число часто называют коэффициентом сжатия.

Другими словами, сжимающее отображение — это липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы.

Теорема Банаха о сжимающем отображении

[править | править код]

Пусть полное метрическое пространство. Пусть — сжимающее отображение в себя. Тогда уравнение имеет единственное решение , причём

для всякой последовательности , удовлетворяющей рекуррентному соотношению , при любом выборе начальной точки из . Более того, если — коэффициент сжатия отображения , то справедлива следующая оценка погрешности вычисления с помощью элементов последовательности :

[1]
  • (Непрерывность) Пусть — сжимающее отображение метрического пространства . Тогда  — непрерывная функция на .
.
  • (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент полного метрического пространства и рассмотреть последовательность элементов , то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке отображения .

Применение

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Эта оценка выводится в процессе доказательства теоремы, см. Колмогоров, Фомин, 2004, с. 82.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.