Прямое произведение групп

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Прямое произведение групп — операция, которая по группам и строит новую группу, обычно обозначающуюся как . Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из основных примеров понятия прямого произведения.

В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначают . Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно теореме о структуре конечнопорождённых абелевых групп, любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму циклических групп.

Определение

[править | править код]

Если и  — группы с операциями и соответственно, то прямое произведение определяется следующим образом:

  1. Множеством является декартово произведение, . Его элементами являются упорядоченные пары , где и .
  2. Бинарная операция на определяется покомпонентно:

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы:

Ассоциативность бинарной операции
Бинарная операция на ассоциативна, что проверяется покомпонентно.
Существование единичного элемента
Прямое произведение имеет единичный элемент , где  — единичный элемент и  — единичный элемент .
Существование обратного элемента
Обратный элемент к элементу в  — это пара , где является обратным к в , а  — обратным к в .
  • Пусть  — группа вещественных чисел с операцией сложения. Тогда прямое произведение  — группа всех двухкомпонентных векторов с операцией сложения векторов:
    .
  • Пусть  — группа положительных вещественных чисел с операцией умножения. Тогда прямое произведение  — это группа всех векторов в первой координатной четверти с операцией покомпонентного умножения:
    .
  • Пусть и  — циклические группы, каждая из которых содержит два элемента:
  • * 1 a
    1 1 a
    a a 1
  • * 1 b
    1 1 b
    b b 1

Тогда прямое произведение изоморфно четверной группе Клейна:

* (1,1) (a,1) (1,b) (a, b)
(1,1) (1,1) (a,1) (1,b) (a, b)
(a,1) (a,1) (1,1) (a, b) (1,b)
(1,b) (1,b) (a, b) (1,1) (a,1)
(a, b) (a, b) (1,b) (a,1) (1,1)

Элементарные свойства

[править | править код]
  • Порядок прямого произведения конечных групп равен произведению порядков этих групп и :
    .
    Это следует из формулы мощности декартова произведения множеств.
  • Порядок каждого элемента является наименьшим общим кратным порядков и [1]:
    .
    В частности, если и являются взаимно простыми, то порядок равен произведению порядков и .
  • Как следствие, если и циклические группы, порядки которых являются взаимно простыми числами, то прямое произведение также является циклической группой. А именно, если и взаимно просты, то
    .
    Этот факт является вариантом китайской теоремой об остатках.
  • Прямое произведение можно рассмотреть как операцию на группах. Эта операция коммутативна и ассоциативна с точностью до изоморфизма: и для любых групп , , и . Тривиальная группа является её единичным элементом с точностью до изоморфизма, то есть, если — тривиальная группа, то для любой группы .

Алгебраическая структура

[править | править код]

Пусть и  — группы, а . Рассмотрим следующие два подмножества :

и .

Оба эти подмножества являются подгруппами , при этом канонически изоморфна , а канонически изоморфна . Если мы отождествим их с и соответственно, то мы сможем считать, что прямое произведение содержит исходные группы и в качестве подгрупп.

Указанные подгруппы обладают следующими тремя важными свойствами:

  1. Пересечение тривиально.
  2. Каждый элемент из можно однозначно представить как произведение элемента из и элемента из .
  3. Каждый элемент из коммутирует с каждым элементом из .

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения . Иными словами, если  — любая группа, имеющая подгруппы и , удовлетворяющие вышеуказанным свойствам, то изоморфна прямому произведению и . В этой ситуации иногда называют внутренним прямым произведением её подгрупп и .

В некоторых случаях третье из приведённых свойств заменяется следующим:

3′. и нормальны в .

Это свойство эквивалентно свойству 3, поскольку элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, что можно доказать, рассматривая коммутатор , где  — любой элемент в , а  — любой элемент в .

Примеры внутреннего прямого произведения

[править | править код]
  • Пусть четверная группа Клейна:
    V
    1 a b c
    1 1 a b c
    a a 1 c b
    b b c 1 a
    c c b a 1
    Тогда — внутреннее прямое произведение двухэлементных подгрупп и .
  • Пусть — циклическая группа порядка , где и — взаимно простые числа. Тогда и — циклические подгруппы порядков и соответственно, и является внутренним прямым произведением этих подгрупп.
  • Пусть — группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения. Тогда является внутренним прямым произведением круговой группы[англ.] , состоящей из комплексных чисел с модулем , и группы положительных вещественных чисел с операцией умножения.
  • Комплексная полная линейная группа — внутреннее прямое произведение специальной линейной группы и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц.
  • Если — нечётное число, то вещественная полная линейная группа — внутреннее прямое произведение специальной линейной группы и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц.
  • Аналогично, когда нечётно, ортогональная группа является внутренним прямым произведением специальной ортогональной группы и двухэлементной подгруппы , где обозначает единичную матрицу.
  • Группа симметрии куба — внутреннее прямое произведение подгруппы вращений куба и двухэлементной группы , где — единичный элемент, а — точечное отражение через центр куба. Аналогичный факт справедлив и для группы симметрии икосаэдра.
  • Пусть нечётно, и пусть диэдральная группа порядка :
    Тогда является внутренним прямым произведением подгруппы (которая изоморфна ) и двухэлементной подгруппы .

Копредставления прямого произведения

[править | править код]

Алгебраическая структура может быть использована для копредставления прямого произведения с помощью копредставлений и . В частности, предположим, что

и

где и  — (непересекающиеся) порождающие множества группы, а и  — множества соотношений между порождающими. Тогда

где  — множество соотношений, определяющих, что каждый элемент в коммутирует с каждым элементом в .

Например, если

и

то

Нормальная структура

[править | править код]

Как было упомянуто выше, подгруппы и  нормальны в . В частности, можно определить функции и формулами

и .

Тогда и  являются гомоморфизмами проекции с ядрами и соответственно.

Из этого следует, что  — расширение при помощи (или наоборот). В случае, когда  — конечная группа, композиционные факторы[англ.] группы являются в точности объединением композиционных факторов группы и композиционных факторов группы .

Дополнительные свойства

[править | править код]

Универсальное свойство

[править | править код]

Прямое произведение может быть охарактеризовано следующим универсальным свойством. Пусть и  — гомоморфизмы проекции. Тогда для любой группы и любых гомоморфизмов и существует единственный гомоморфизм , соответствующий следующей коммутативной диаграмме:

Иными словами, гомоморфизм задаётся формулой

.

Это частный случай универсального свойства для произведений в теории категорий.

Если  — подгруппа и  — подгруппа , то прямое произведение является подгруппой . Например, изоморфной копией в является произведение , где  — тривиальная подгруппа .

Если и нормальны, то  — нормальная подгруппа в . Более того, факторгруппа прямых произведений изоморфна прямому произведению частных:

.

Обратите внимание, что, вообще говоря, неверно, что каждая подгруппа из является произведением подгруппы из на подгруппу из . Например, если  — любая нетривиальная группа, то произведение имеет диагональную подгруппу[англ.]

которая не является прямым произведением двух подгрупп .

Подгруппы прямых произведений описываются леммой Гурса́[англ.].

Сопряжённость и централизаторы

[править | править код]

Два элемента и сопряжены в тогда и только тогда, когда и сопряжены в и одновременно и сопряжены в . Отсюда следует, что каждый класс сопряжённости в является декартовым произведением класса сопряжённости в и класса сопряжённости в .

Аналогично, если , то централизатор является произведением централизаторов и :

.

Также центр является произведением центров и :

.

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых произведений сами разлагаются на прямые произведения.

Автоморфизмы и эндоморфизмы

[править | править код]

Если  — автоморфизм , а  — автоморфизм , то произведение функций , определяемое формулой

является автоморфизмом . Из этого следует, что содержит в себе подгруппу, изоморфную прямому произведению .

В общем случае неверно, что каждый автоморфизм имеет вышеуказанный вид. Например, если  — любая группа, то тогда существует автоморфизм группы , который меняет местами два множителя, то есть

.

Другой пример: группой автоморфизмов группы является  — группа всех матриц размера с целочисленными значениями и определителем, равным . Эта группа автоморфизмов бесконечна, но лишь конечное число автоморфизмов задаются как .

В общем случае, каждый эндоморфизм можно записать в виде матрицы размера

где  — эндоморфизм ,  — эндоморфизм , а и  — гомоморфизмы. Эта матрица должна иметь свойство, что каждый элемент образа коммутирует с каждым элементом образа , а каждый элемент образа коммутирует с каждым элементом образа .

Когда и  — неразложимые группы с тривиальными центрами, то группа автоморфизмов прямого произведения относительно проста: , если и не изоморфны, и , если , где обозначает сплетение[англ.]*. Это часть теоремы Крулля—Шмидта[англ.], в более общем случае она справедлива для конечных прямых произведений.

Конечные прямые произведения

[править | править код]

Можно взять прямое произведение более, чем двух групп одновременно. Для конечной последовательности групп прямое произведение

определяется следующим образом:

  • Элементами являются кортежи , где для любого .
  • Операция на определяется покомпонентно:
    .

Оно обладает множеством свойств, которыми обладает прямое произведение двух групп, и может быть алгебраически охарактеризовано аналогичным образом.

Бесконечные прямые произведения

[править | править код]

Также можно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности групп это можно определить точно так же, как для конечного прямого произведения, с элементами бесконечного прямого произведения, являющимися бесконечными кортежами.

В более общем смысле, для индексированного семейства групп прямое произведение определяется следующим образом:

  • Элементы — это элементы бесконечного декартова произведения множеств ; т. е. элементы бесконечного декартова произведения можно понимать как функции с таким свойством, что для любого .
  • Произведение двух элементов определяется покомпонентно:
    .

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение не порождается элементами изоморфных подгрупп . Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма, которая состоит из всех элементов, имеющих лишь конечное число неединичных компонентов.

Другие произведения

[править | править код]

Полупрямые произведения

[править | править код]

Напомним, что группа с подгруппами и изоморфна прямому произведению и , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

  1. Пересечение является тривиальной группой.
  2. Каждый элемент из можно однозначно представить как произведение элемента из и элемента из .
  3. И , и являются нормальными в .

Полупрямое произведение и получается ослаблением третьего условия, так что только одна из двух подгрупп , должна быть нормальной. Полученное произведение по-прежнему состоит из упорядоченных пар , но с немного более сложным правилом умножения.

Также можно полностью ослабить третье условие, не требуя ни от одной из подгрупп нормальности. В этом случае группа называется произведением Заппы—Сепа[англ.] групп и .

Свободные произведения

[править | править код]

Свободное произведение групп и , обычно обозначаемое как , похоже на прямое произведение, за исключением того, что подгруппы и группы не обязаны коммутировать. А именно, если

и ,

являются копредставлениями и , то

.

В отличие от прямого произведения, элементы свободного произведения не могут быть представлены упорядоченными парами. К тому же свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Свободное произведение, как ни странно, является копроизведением в категории групп.

Подпрямые произведения

[править | править код]

Если и  — группы, то подпрямым произведением и является любая подгруппа , которая отображается сюръективно в и под действием гомоморфизмов проекции. Согласно лемме Гурса[англ.], каждое подпрямое произведение является расслоённым.

Расслоённые произведения

[править | править код]

Пусть , и  — группы, и пусть и  — гомоморфизмы. Расслоённое произведение и над представляет собой следующую подгруппу :

.

Если и  — эпиморфизмы, то это подпрямое произведение.

Примечания

[править | править код]
  1. Джозеф Галлиан. Современная абстрактная алгебра. — 7-е изд.. — Cengage Learning, 2010. — 157 с. — ISBN 9780547165097.

Литература

[править | править код]
  • Майкл Артин. Алгебра. — Prentice Hall, 1991. — ISBN 978-0-89871-510-1.
  • Израиль Натан Херштейн. Абстрактная алгебра. — 3-е изд. — Сэддл Ривер, Нью Джерси: Prentice Hall Inc., 1996. — ISBN 978-0-13-374562-7.
  • Израиль Натан Херштейн. Topics in algebra. — 2-е изд. — Лексингтон, Массачусетс: Xerox College Publishing, 1975.
  • Серж Ленг. Алгебра. — исправленное 3-е изд. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 978-0-387-95385-4.
  • Серж Ленг. Undergraduate algebra. — 3-е изд. — Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-0-387-22025-3.
  • Дерек Джон Скотт Робинсон. Курс теории групп. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 978-0-387-94461-6.