Проблемы Ландау

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Проблемы Ландау — четыре теоретико-числовых гипотезы, выделенные в 1912 году Эдмундом Ландау как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на Международном конгрессе математиков:

  • гипотеза Гольдбаха: можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
  • гипотеза о числах-близнецах: бесконечно ли число простых таких, что тоже простое?
  • гипотеза Лежандра: всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
  • существует ли бесконечно много простых чисел , для которых является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида [1]?

Все четыре проблемы по состоянию на 2024 год остаются открытыми.

Продвижения

[править | править код]

Гипотеза Гольдбаха

[править | править код]

Теорема Виноградова доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого . В 2013 году Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел, больших 5[2]. В отличие от проблемы Гольдбаха, слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.

Теорема Чэня утверждает, что для всех достаточно больших возможно представление , где простое, а либо простое, либо полупростое. Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, непредставимые в виде суммы двух простых, имеют плотность нуль[3].

В 2015 году Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня[4]: любое чётное число, большее , является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.

Гипотеза о числах-близнецах

[править | править код]

Чжан Итан[5] показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с проектом «Polymath»[англ.][6]. При принятии обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 (Мейнард[7], Голдстон, Пинц и Йылдырым[8]).

Чэнь показал, что имеется бесконечно много простых чисел (позднее названных простыми числами Чэня), таких, что является простым или полупростым.

Гипотеза Лежандра

[править | править код]

Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими , меньше величины . Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×1018[9]. Контрпример около 1018 должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим . В частности[10]:

.

Результат Ингема показывает, что существует простое между и для любого достаточно большого [11].

Почти квадратные простые числа

[править | править код]

Теорема Фридландера — Иванца утверждает о бесконечно большом количестве простых чисел вида [12]. Иванец показал, что существует бесконечное количество чисел вида с максимум двумя простыми делителями[13][14]. Анкени доказал, что при верности обобщённой гипотезы Римана для -функций на характерах Гекке[англ.] существует бесконечно много простых чисел вида с [15].

Дешуиллерс и Иванец[16], улучшив результат Хули[17] и Тодда[18], показали, что существует бесконечно много чисел вида с бо́льшим простым множителем по меньшей мере . Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы. В обратную сторону, решето Бруна[англ.] показывает, что существует таких простых, меньших .

Примечания

[править | править код]
  1. последовательность A002496 в OEIS
    • Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arXiv:1305.2897 [math.NT].
    • Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". arXiv:1205.5252 [math.NT].
    • Helfgott, H.A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748 [math.NT].
  2. Montgomery, Vaughan, 1975, с. 353–370.
  3. Yamada, Tomohiro (2015-11-11). "Explicit Chen's theorem". arXiv:1511.03409 [math.NT].
  4. Zhang, 2014, с. 1121–1174.
  5. Polymath, 2014, с. 12.
  6. Maynard.
  7. Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım, 2006, с. 61–65.
  8. Andersen.
  9. Matomäki, 2007, с. 489–518.
  10. Ingham, 1937, с. 255–266.
  11. Friedlander, Iwaniec, 1997, с. 1054–1058.
  12. Iwaniec, 1978, с. 178–188.
  13. Oliver, 2012, с. 241–261.
  14. Ankeny, 1952, с. 913–919.
  15. Deshouillers, Iwaniec, 1982, с. 1–11.
  16. Hooley, 1967, с. 281—299.
  17. Todd, 1949, с. 517–528.

Литература

[править | править код]