Предельные теоремы Сегё

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Предельные теоремы Сегё — группа результатов, описывающих асимптотическое поведение детерминантов больших теплицевых матриц[1], впервые установленная Габором Сегё.

В рамках предельных теорем рассматривается функция , заданная на единичной окружности комплексной плоскости, и тёплицева матрица размера , определённая как:

,

где

являются коэффициентами Фурье функции .

Первая теорема Сегё[1][2] утверждает, что при и справедливо:

Правая часть является геометрическим средним функции (которое определено в силу соотношения между геометрическим и арифметическим средними; обозначается через ).

Вторая теорема Сегё[1][3] (строгая теорема Сегё) утверждает, что если дополнительно потребовать, чтобы производная была гёльдеровой функцией порядка , то справедливо:

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 Böttcher, Albrecht; Silbermann, Bernd. Toeplitz determinants // Analysis of Toeplitz operators (неопр.). — Berlin: Springer-Verlag, 1990. — С. 525. — ISBN 3-540-52147-X.
  2. Szegő, G. Ein Grenzwertsatz über die Toeplitzschen Determinanten einer reellen positiven Funktion (нем.) // Math. Ann. : magazin. — 1915. — Bd. 76, Nr. 4. — S. 490—503. — doi:10.1007/BF01458220.
  3. Szegő, G. On certain Hermitian forms associated with the Fourier series of a positive function (англ.) // Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] : journal. — 1952. — P. 228—238.