Операция «Snub»

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Два плосконосых архимедова тела

Плосконосый куб или
плосконосый кубооктаэдр

Плосконосый додекаэдр или
плосконосый икосододекаэдр
Две хиральные копии плосконосого куба как альтернирование (красных и зелёных) вершин усечённого кубооктаэдра.
Плосконосый куб можно построить путём преобразования ромбокубооктаэдра с помощью вращения 6 синих квадратных граней пока 12 белых квадрата не станут парами равносторонних треугольников.

Операция snub или отсечение вершин — это операция, применяемая к многогранникам. Термин появился из названий, данных Кеплером двум архимедовым теламплосконосый куб (cubus simus) и плосконосый додекаэдр (dodecaedron simum)[1]. В общем случае плосконосые формы имеют хиральную симметрию двух видов, с ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Согласно названиям Кеплера, отсечение вершин можно рассматривать как растяжение правильного многогранника, когда исходные грани отодвигаются от центра и поворачиваются относительно центров, вместо исходных вершин добавляются многоугольники с центрами в этих вершинах, а пары треугольников заполняют пространство между исходными рёбрами.

Терминологию обобщил Коксетер со слегка другим определением для более широкого множества однородных многогранников.

Операция «snub» Конвея

[править | править код]

Джон Конвей исследовал обобщённые операции над многогранниками, определяя то, что называется теперь нотацией Конвея для многогранников, которая может быть применена к многогранникам и мозаикам. Конвей назвал операцию Коксетера semi-snub (полу-snub)[2].

В этой нотации snub определяется как композиция двойственного и gyro операторов, , и это эквивалентно последовательности операторов альтернирования[англ.], усечения и ambo. Нотация Конвея избегает операции альтернирования, поскольку та применима только к многогранниками с гранями, имеющими чётное число сторон.

Плосконосые правильные фигуры
Многогранники Евклидовы мозаики Гиперболические мозаики
Нотация
Конвея
sT sC = sO sI = sD sQ sH = sΔ 7
Плосконосый
многогранник
Тетраэдр Куб или
Октаэдр
Икосаэдр или
Додекаэдр
Квадратная мозаика Шестиугольная мозаика или
Треугольная мозаика
Семиугольная мозаика или
Треугольная мозаика порядка 7[англ.]
Рисунок

В 4-мерных пространствах Конвей считает, что плосконосый 24-ячейник[англ.] должен называться полуплосконосым 24-ячейником, поскольку он не представляет альтернированный всеусечённый 24-ячейник[англ.], как его аналог в 3-мерном пространстве. Вместо этого он является альтернированным усечённым 24-ячейником[англ.][3].

Операции «snub» Коксетера, правильная и квазиправильная

[править | править код]
Плосконосый куб, полученный из куба или кубооктаэдра
Исходное тело Полноусечённый
многогранник

r
Усечённый
многогранник

t
Альтернированный
многогранник
[англ.]
h
 
Cube
Кубооктаэдр
Полноусечённый куб
Усечённый кубооктаэдр
Скошено-усечённый куб
Плосконосый кубооктаэдр
Плосконосый полноусечённый куб
C CO
rC
tCO
trC или trO
htCO = sCO
htrC = srC
{4,3} или r{4,3} или tr{4,3}
htr{4,3} = sr{4,3}
node_14node3node node_1split1-43nodes или node4node_13node node_1split1-43nodes_11 или node_14node_13node_1 node_hsplit1-43nodes_hh или node_h4node_h3node_h

Терминология «snub» (отсечения вершин) Коксетера несколько отличается и означает альтернированное[англ.] усечение, по которому плосконосый куб получается операцией snub (отсечение вершин) из кубооктаэдра, а плосконосый додекаэдр — из икосододекаэдра. Это определение используется в названиях двух тел Джонсонаплосконосый двуклиноид и плосконосая квадратная антипризма, а также в названиях многогранников более высокой размерности, таких как 4-мерный плосконосый 24-ячейник[англ.], node_h3node_h4node3node или s{3,4,3}.

Правильный многогранник (или мозаика) с символом Шлефли, и диаграммой Коксетера node_1pnodeqnode имеет усечение, определённое как с диаграммой node_1pnode_1qnode, и плосконосую форму, определённую как альтернированное[англ.] усечение с диаграммой Коксетера node_hpnode_hqnode. Это построение требует, чтобы q было чётным.

Квазиправильный многогранник или r{p,q}, с диаграммой Коксетера node_1split1-pqnodes или nodepnode_1qnode имеет квазиправильное усечение, определённое как или tr{p,q} (с диаграммой Коксетера node_1split1-pqnodes_11 или node_1pnode_1qnode_1) и квазиправильную плосконосую форму, определённую как альтернированное[англ.] усечение полного усечения или htr{p,q} = sr{p,q} (с диаграммой Коксетера node_hsplit1-pqnodes_hh или node_hpnode_hqnode_h).

Например, плосконосый куб Кеплера получается из квазирегулярного кубооктаэдра с вертикальным символом Шлефли диаграммой Коксетера node_1split1-43nodes) и более точно называется плосконосый кубооктаэдр, который выражается символом Шлефли (с диаграммой Коксетера node_hsplit1-43nodes_hh). Плосконосый кубооктаэдр является альтернацией усечённого кубооктаэдра (node_1split1-43nodes_11).

Правильные многогранники с чётным порядком вершин также могут быть приведены к плосконосой форме как альтернированное усечение, подобно как плосконосый октаэдр (node_h3node_h4node) (и плосконосый тетратетаэдр , node_hsplit1nodes_hh) представляет псевдоикосаэдр, правильный икосаэдр с пиритоэдральной симметрией. Плосконосый октаэдр является альтернированной формой усечённого октаэдра, (node_13node_14node), или в форме тетраэдральной симметрии: и node_1split1nodes_11.

Усечённый
t
Альтернированный
h
Октаэдр
O
Усечённый октаэдр
tO
Плосконосый октаэдр
htO или sO
{3,4} t{3,4} ht{3,4} = s{3,4}
node_13node4node node_13node_14node node_h3node_h4node

Операция отсечения вершин (носов) Коксетера позволяет также определить n-антипризму как или на основе n-призм или , а является правильным осоэдром, вырожденным многогранником, который является допустимой мозаикой на сфере с двуугольными или луноподобными гранями.

Плосконосые осоэдры, {2,2p}
Рисунок
Диаграммы
Коксетера
node_h2xnode_h4node
node_h2xnode_h2xnode_h
node_h2xnode_h6node
node_h2xnode_h3node_h
node_h2xnode_h8node
node_h2xnode_h4node_h
node_h2xnode_h10node
node_h2xnode_h5node_h
node_h2xnode_h12node
node_h2xnode_h6node_h
node_h2xnode_h14node
node_h2xnode_h7node_h
node_h2xnode_h16node...
node_h2xnode_h8node_h...
node_h2xnode_hinfinnode
node_h2xnode_hinfinnode_h
Символ
Шлефли
s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} s{2,12} s{2,14}[англ.] s{2,16}[англ.]... s{2,∞}[англ.]
sr{2,2}
sr{2,3}
sr{2,4}
sr{2,5}
sr{2,6}
sr{2,7}
sr{2,8}...
...
sr{2,∞}
Нотация
Конвея
A2 = T A3 = O A4 A5 A6 A7 A8... A∞

Тот же процесс применим для плосконосых мозаик:

Треугольная мозаика
Δ
Усечённая треугольная мозаика
Плосконосая треугольная мозаика
htΔ = sΔ
{3,6} t{3,6} ht{3,6} = s{3,6}
node_13node6node node_13node_16node node_h3node_h6node
Плосконосые фигуры на {p,4}
Пространство Сферическое Евклидово Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма
Коксетера
node_h2xnode_h4node node_h3node_h4node node_h4node_h4node node_h5node_h4node node_h6node_h4node node_h7node_h4node node_h8node_h4node ...node_hinfinnode_h4node
Символ
Шлефли
s{2,4} s{3,4} s{4,4} s{5,4}[англ.] s{6,4}[англ.] s{7,4}[англ.] s{8,4}[англ.] ...s{∞,4}[англ.]
Квазиправильные плосконосые фигуры, основанные на r{p,3}
Пространство Сферическая Евклидово Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма
Коксетере
node_h2xnode_h3node_h node_h3node_h3node_h node_h4node_h3node_h node_h5node_h3node_h node_h6node_h3node_h node_h7node_h3node_h node_h8node_h3node_h ...node_hinfinnode_h3node_h
Символ
Шлефли
sr{2,3} sr{3,3} sr{4,3} sr{5,3} sr{6,3} sr{7,3}[англ.] sr{8,3}[англ.] ...sr{∞,3}[англ.]
Нотация
Конвея
A3 sT sC или sO sD или sI sΗ или sΔ
Квазирегулярные плосконосые формы, основанные на r{p,4}
Пространство Сферическое Евклидово Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма
Коксетера
node_h2xnode_h4node_h node_h3node_h4node_h node_h4node_h4node_h node_h5node_h4node_h node_h6node_h4node_h node_h7node_h4node_h node_h8node_h4node_h ...node_hinfinnode_h4node_h
Символ
Шлефли
sr{2,4} sr{3,4} sr{4,4} sr{5,4}[англ.] sr{6,4}[англ.] sr{7,4}[англ.] sr{8,4}[англ.] ...sr{∞,4}[англ.]
Нотация
Конвея
A4 sC или sO sQ

Неоднородные плосконосые многогранники

[править | править код]

У неоднородных многогранников, для которых в вершины сходятся чётное число рёбер, могут быть отсечены вершины, включая некоторые бесконечные наборы, например:

Плосконосые бипирамиды sdt{2,p}
Плосконосая квадратная бипирамида
Плосконосая шестиугольная бипирамида
Плосконосые полноусечённые бипирамиды srdt{2,p}
Плосконосые антипризмы {2,2p}
Рисунок ...
Символ
Шлефли
ss{2,4} ss{2,6} ss{2,8} ss{2,10}...
ssr{2,2}
ssr{2,3}
ssr{2,4}
ssr{2,5}...

Однородные плосконосые звёздчатые многогранники Коксетера

[править | править код]

Плосконосые звёздчатые многогранники строятся по треугольнику Шварца (p q r) с рациональными зеркалами, в котором все зеркала активны и альтернированы.

Плосконосые однородные звёздчатые многогранники

s{3/2,3/2}
node_h3xrat2xnode_h3xrat2xnode_h

s{(3,3,5/2)}[англ.]
node_hsplit1branch_hhlabel5-2

sr{5,5/2}[англ.]
node_h5node_h5-2node_h

s{(3,5,5/3)}[англ.]
node_hsplit1-53branch_hhlabel5-3

sr{5/2,3}[англ.]
node_h5ratd2node_h3node_h

sr{5/3,5}[англ.]
node_h5ratd3node_h5node_h

s{(5/2,5/3,3)}[англ.]
label5-3branch_hhsplit2-p3node_h

sr{5/3,3}[англ.]
node_h5ratd3node_h3node_h

s{(3/2,3/2,5/2)}[англ.]

s{3/2,5/3}
node_h3xrat2xnode_h5-3node_h

Плосконосые многогранники и соты Коксетера в пространствах высокой размерности

[править | править код]

В общем случае правильные 4-мерные многогранники с символом Шлефли, и диаграммой Коксетера node_1pnodeqnodernode имеет плосконосую форму с расширенным символом Шлефли и диаграммой node_hpnode_hqnodernode .

Полноусечённый многогранник = r{p,q,r}, and nodepnode_1qnodernode has snub symbol = sr{p,q,r}, and node_hpnode_hqnode_hrnode.

Ортогональная проекция плосконосого 24-ячейника[англ.]

Существует лишь один однородный плосконосый многогранник в 4-мерном пространстве, Плосконосый 24-ячейник[англ.]. Правильный двадцатичетырёхъячейник имеет символ Шлефли, и диаграмму Коксетера node_13node4node3node, а плосконосый 24-ячейник представляется символом и диаграммой диаграмма Коксетера node_h3node_h4node3node. Он имеет также построение с более низкой симметрией с индексом 6 как или s{31,1,1} и node_hsplitsplit1branch3_hhnode_h, и симметрией с индексом 3 как или sr{3,3,4}, node_h3node_h3node_h4node или node_hsplit1nodes_hh4anodea.

Связанные Плосконосые 24-ячейные соты[англ.] модно рассматривать как или s{3,4,3,3}, node_h3node_h4node3node3node, тело с более низкой симметрией как или sr{3,3,4,3} (node_h3node_h3node_h4node3node или node_hsplit1nodes_hh3anodea4anodea), и с наименьшей симметрией как или s{31,1,1,1} (nodes_hhsplit2node_hsplit1nodes_hh).

Евклидовыми сотами являются альтернированные шестиугольные пластинчатые соты[англ.], s{2,6,3} (node_h2xnode_h6node3node) или sr{2,3,6} (node_h2xnode_h3node_h6node) или sr{2,3[3]} (node_h2xnode_hsplit1branch_hh).

Другими евклидовыми (равнорёберными) сотами являются альтернированные квадратные пластинчатые соты[англ.] s{2,4,4} (and node_h2xnode_h4node4node) или sr{2,41,1} (node_h2xnode_hsplit1-44nodes_hh):

Единственными однородными плосконосыми гиперболическими сотами являются плосконосые шестиугольные мозаичные соты, s{3,6,3} и node_h3node_h6node3node, которые можно построить также как Альтернированные шестиугольные мозаичные соты[англ.], h{6,3,3}, node_h16node3node3node. It is also constructed as s{3[3,3]} and branch_hhsplitcrossbranch_hh.

Другими гиперболическими (равнорёберными) сотами являются плосконосые октаэдральные соты порядка 4[англ.], s{3,4,4} и node_h3node_h4node4node.

Операции над многогранниками
Основа Усечение Полное усечение Глубокое усечение[англ.] Двойствен-
ность
Растяжение Всеусечение[англ.] Альтернация[англ.]
node_1pnode_n1qnode_n2 node_1pnode_1qnode nodepnode_1qnode nodepnode_1qnode_1 nodepnodeqnode_1 node_1pnodeqnode_1 node_1pnode_1qnode_1 node_hpnodeqnode nodepnode_hqnode_h node_hpnode_hqnode_h
t0{p, q}
{p, q}
t01{p,q}[англ.]
t{p, q}
t1{p,q}
r{p, q}
t12{p,q}[англ.]
2t{p, q}
t2{p, q}
2r{p, q}
t02{p,q}[англ.]
rr{p, q}
t012{p,q}[англ.]
tr{p, q}
ht0{p,q}[англ.]
h{q, p}
ht12{p,q}
s{q, p}
ht012{p,q}
sr{p, q}

Примечания

[править | править код]
  1. Kepler, Harmonices Mundi, 1619
  2. Conway, 2008, с. 287.
  3. Conway, 2008, с. 401.

Литература

[править | править код]
  • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — JSTOR 91532.
  • Coxeter, H.S.M. 8.6 Partial truncation, or alternation // Regular Polytopes. — 3rd. — 1973. — С. 154–156. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Coxeter. Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs // Regular Polytopes[англ.]. — 3rd. ed.. — Dover Publications, 1973. — С. 154–156. — ISBN 0-486-61480-8.
  • H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Paper 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • H.S.M. Coxeter. Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 0-486-40919-8.
  • N.W. Johnson. Uniform Polytopes. — 1991. — (Manuscript).
    • N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Weisstein, Eric W. Snubification (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Richard Klitzing. Snubs, alternated facetings, and Stott–Coxeter–Dynkin diagrams // Symmetry: Culture and Science. — 2010. — Т. 21, вып. 4. — С. 329–344.