Неравенство Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Нера́венство Берну́лли утверждает[1]: если вещественное число , то:

для всех натуральных

Доказательство

[править | править код]

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли

[править | править код]

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает[1], что при и :

  • если , то
  • если , то
  • при этом равенство достигается в двух случаях:
  • Неравенство также справедливо для (при ), если исключить случай, когда получается ноль в степени ноль. Доказательство для случая можно провести тем же методом математической индукции:

Так как при выполняется , то .

  • Неравенство Бернулли также может быть представлено в виде:

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.