Наибольший общий делитель

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел и называется наибольший из их общих делителей[1]. Пример: для чисел 54 и 24 наибольший общий делитель равен 6.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел или не равно нулю.

Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел и :

  • НОД(m, n);
  • ;
  • (от англ. greatest common divisor);
  • (от брит. highest common factor).

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел.

Связанные определения

[править | править код]

Наименьшее общее кратное

[править | править код]

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел и  — это наименьшее натуральное число, которое делится на и (без остатка). Обозначается НОК(m,n) или , а в английской литературе .

НОК для ненулевых чисел и всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:

Это частный случай более общей теоремы: если  — ненулевые числа,  — какое-либо их общее кратное, то имеет место формула:

Причем, НОД от коэффициентов делителей НОК всегда равен 1. Например, НОК. - коэффициенты делителей НОК. НОД. Представим, что НОД этих коэффициентов >=2. Но ведь тогда число не является НОК своих делителей! И правда, мы просто умножили две части уравнения на C.
Было:НОД
Стало: НОД
Вернемся к теореме. Вторая часть - нахождение этого коэффициента. То есть, если , то НОД. Но в другом случае мы узнаем, на какую C умножены обе части уравнения.

Взаимно простые числа

[править | править код]

Числа и называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме . Для таких чисел НОД. Обратно, если НОД то числа взаимно просты.

Аналогично, целые числа , где , называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Из попарной простоты вытекает взаимная простота, но не наоборот. Например, НОД(6,10,15) = 1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.

Способы вычисления

[править | править код]

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.

Кроме того, значение НОД(m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел и на простые множители:

где  — различные простые числа, а и  — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД(n,m) и НОК[n,m] выражаются формулами:

Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:

………
 — это и есть искомый НОД.
  • Основное свойство: наибольший общий делитель и делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
    • Следствие 1: множество общих делителей и совпадает с множеством делителей НОД(m, n).
    • Следствие 2: множество общих кратных и совпадает с множеством кратных НОК(m, n).
  • Если делится на , то НОД(m, n) = n. В частности, НОД(n, n) = n.
  • . В общем случае, если , где – целые числа, то .
  •  — общий множитель можно выносить за знак НОД.
  • Если , то после деления на числа становятся взаимно простыми, то есть, . Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
  • Мультипликативность: если взаимно просты, то:
  • Наибольший общий делитель чисел и может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:
и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел и :
.
Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты и  — коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД(a1, a2, … , an).

Вариации и обобщения

[править | править код]

Понятие делимости целых чисел естественно обобщается на произвольные коммутативные кольца, такие, как кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Однако, определить НОД(a, b) как наибольший из общих делителей , нельзя, так как в таких кольцах, вообще говоря, не определено отношение порядка. Поэтому в качестве определения НОД берётся его основное свойство:

Наибольшим общим делителем НОД(a, b) называется тот общий делитель, который делится на все остальные общие делители и .

Для натуральных чисел новое определение эквивалентно старому. Для целых чисел НОД в новом смысле уже не однозначен: противоположное ему число тоже будет НОД. Для гауссовых чисел число различных НОД возрастает до 4.

НОД двух элементов коммутативного кольца, вообще говоря, не обязан существовать. Например, для нижеследующих элементов и кольца не существует наибольшего общего делителя:

В евклидовых кольцах наибольший общий делитель всегда существует и определён с точностью до делителей единицы, то есть количество НОД равно числу делителей единицы в кольце.

Литература

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. Архивировано 16 октября 2013 года. страница 857