Метрический дифференциал

Метрический дифференциал — обобщение понятия производной на (липшицевы) отображения из евклидова пространства в произвольное метрическое пространство. Впервые рассмотрен Берндом Киркхаймом.

Метрический дифференциал отображения $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X$ в точке $x\in \mathbb {R} ^{n}$ является нормой на $\mathbb {R} ^{n}$ и обычно обозначается $MD_{x}f$.

Определение

Метрический дифференциал отображения $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X$ в точке $x\in \mathbb {R} ^{n}$ определяется как норма $MD_{x}f$ на $\mathbb {R} ^{n}$ такая, что

$|f(x+v)-f(x+w))|_{X}=MD_{x}f(v-w)+o(|v|-|w|),$

где $|a-b|_{X}$ обозначает расстояние между точками $a$ и $b$ по норме $X$.

Свойства

• Для метрического дифференциала выполняется аналог теоремы Радемахера — если $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X$ липшицевское, то метрический дифференциал определён почти в каждой точке области определения.
  • Прямое обобщение теоремы Радемахера невозможно, поскольку метрическое пространство не обладает линейной структурой, требуемой для дифференциала. Даже в случае банахова пространства $X=L^{1}([0,1])$ заключение самой теоремы неверно — например, отображение $f\colon [0,1]\to X$, определённое как индикатор $f(x)=\chi _{[0,x]}$, не имеет производную ни в одной точке, несмотря на то, что отображение липшицево и даже сохраняет расстояния.

Ссылки

• М. Б. Карманова. Метрическая теорема Радемахера и формула площади для липшицевых отображений со значениями в метрическом пространстве // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ.. — 2006. — Т. 6, № 4. — С. 50—69.
• А. И. Тюленев Введение в геометрическую теорию меры Лекция 7. Метрический дифференциал. Теорема Киркхайма.