Метод энтропического моделирования

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

С развитием компьютерных технологий моделирование методом Монте-Карло становится всё более популярным в изучении различных статистических систем, включая: нейронные сети, проблемы биологии и химии, задачи оптимизации в различных областях, а также в статистической физике при изучении фазовых переходов и критических явлений.

Почти все вариации метода Монте-Карло основаны на идее метода существенной выборки, автором которого является Н. Метрополис и др.[1]

Одним из примеров реализации метода энтропического моделирования является Алгоритм Ванга-Ландау

Метод Монте-Карло в классической статистической механике

[править | править код]

Задачи равновесной статистической термодинамики классических систем можно свести к вычислению статистического интеграла. Например, в каноническом ансамбле:

- число частиц, находящихся в объёме при температуре , ; - полная механическая энергия частиц; - набор их импульсов и координат, причём . Классическая энергия всегда может быть представлена в виде суммы кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия есть квадратичная функция от импульсов, и интегрирование по ним может быть произведено в общем виде. В результате получаем:

где - тепловая длина волны де Бройля частиц массы при температуре . Таким образом, задача сводится к вычислению конфигурационного интеграла

От интегрирования по координатам можно перейти к интегрированию по энергии:

где - объём части конфигурационного пространства, в которой энергия системы лежит в пределах от до , - дельта функция.

Вычисления по приведённым формулам мы будем выполнять численными методами. Поэтому от интегралов перейдём к интегральным суммам. Диапазон изменения энергии системы разбивается на конечное число равных отрезков. Определяются значения . В итоге, для любой величины её средние канонические могут быть вычислены по формуле:

,

где — значение величины для -го отрезка энергии. Поскольку входит линейно и в числитель, и в знаменатель формулы для , то можно понимать не только как объём, но и как долю конфигурационного пространства, соответствующую энергии . В каждом состоянии (конфигурации) система обладает определённой энергией. Т.е. каждому состоянию (конфигурации) системы можно сопоставить точку на энергетической шкале (оси) в пространстве энергий (это пространство одномерно). Последовательности случайных изменений конфигурации системы соответствует случайное блуждание точки в пространстве энергий. Моделируя процесс случайных блужданий с помощью метода Монте-Карло и зная или вычисляя значения , мы можем находить средние значения физических величин.

Алгоритм энтропического моделирования

[править | править код]

Алгоритм энтропического моделирования основан на следующем обстоятельстве. Совершая случайное блуждание в пространстве энергий с вероятностями перехода, пропорциональными обратной плотности состояний , мы получаем равномерное распределение по энергиям. Иными словами, подобрав вероятности перехода такими, что посещение всех энергетических состояний стало бы равномерным, можно получить изначально неизвестную плотность состояний .

Напишем конфигурационный интеграл в каноническом ансамбле в виде:

где - энтропия при заданном значении (иногда будет опускаться, т.к. в моделировании не обязательно учитывать эту константу).

Осуществляя блуждание в конфигурационном пространстве с вероятностями перехода, удовлетворяющими соотношению детального баланса

,

получают каноническую выборку состояний (или ). Произвольной выборке энергетических состояний , где — произвольная функция, , соответствует условие

.

При , в процессе блуждания должна получиться равномерная, в пределах статистического разброса, выборка энергетических состояний, . В этом случае из определения энтропии следует

Таким образом, если при некотором выборе вероятностей перехода получить равномерное посещение энергетических состояний, то можно вычислить плотность состояний , а следовательно, и конфигурационный интеграл .

Примечания

[править | править код]
  1. N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E. Teller, J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953).