Линейная динамическая система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Линейные динамические системы — это динамические системы, эволюция которых во времени описывается линейным дифференциальным уравнением (для систем с дискретным временем - линейным разностным уравнением). В то время как динамические системы в целом не имеют замкнутой формы решения, линейные динамические системы могут быть решены точно, и у них есть большой набор математических свойств. Линейные системы также могут быть использованы для понимания поведения общих динамических систем, путём расчета точек равновесия системы и приближения её в виде линейной системы вокруг каждой такой точки.

В линейной динамической системе, изменение вектора состояния ( -мерный вектор обозначается ) эквивалентно постоянной матрице (обозначается ) умноженной на . Эти изменения могут иметь две формы:

или как поток, в котором изменяется непрерывно со временем:

или как отображение, в котором изменяется дискретно:

Эти уравнения являются линейными в следующем смысле: если и - два действительных решения, то и любая линейная комбинация имеет два решения, например, где и два любых скаляра. Матрица не обязательно должна быть симметричной.

Линейные динамические системы могут быть решены точно, в отличие от большинства нелинейных. Иногда, нелинейная система может быть решена точно изменением переменных в линейной системе. Кроме того, решения почти любой нелинейной системы могут быть приближенно найдены эквивалентно линейной системы вблизи её неподвижных точек. Следовательно, понимание линейных систем и их решение является важнейшим шагом к пониманию более сложных нелинейных систем.

Решения линейных динамических систем

[править | править код]

Если первоначальный вектор выровнен с собственным вектором в матрице , динамика проста

где является соответствующим собственному значению; решение этого уравнения

как может быть подтверждено путём замены.

Если диагонализируема, тогда любой вектор в -мерном пространстве может быть представлен комбинацией правых и левых собственных векторов (обозначается ) из матрицы .

Таким образом, общее решение для линейная комбинация отдельных решений для правых собственных векторов

Аналогичные соображения применимы и к дискретным отображениям.

Классификация в двух измерениях

[править | править код]
Классификация 2D неподвижной точки согласно следу и определителю матрицы Якоби

Корни характеристического многочлена матрицы (A - λI) являются собственными значениями A. Признак и связь этих корней, , друг с другом могут быть использованы для определения стабильности динамической системы

Для двухмерных систем, характеристический многочлен имеет вид где след матрицы является детерминантом, определяющим A. Таким образом, два корня имеют вид:

Отметим также, что и . Таким образом, если то собственные значения противоположного знака, и неподвижная точка является седловой. Если то собственные значения одного знака. Поэтому, если оба положительны и точка неустойчива, и если то оба отрицательны и точка устойчива. Дискриминант покажет нам, если точка находится в узле или спирали (т.e. если собственные значения действительные или комплексные).


Примечания

[править | править код]