Критерий Попова

Критерий По́пова — математическое понятие, условие абсолютной устойчивости нелинейной системы управления c нелинейностью, лежащей в секторе.

Формулировка критерия[править | править код]

Рассматривается следующая система управления^[1]:

{\dot {x}}=Ax+Bu,

y=Cx,

u=-\psi (y),

где $x\in \mathbb {R} ^{n}$ , $u,y\in \mathbb {R}$ , $A,B,C$ — матрицы подходящих размерностей, $\psi$ — нелинейная функция со значениями в $\mathbb {R}$ . Предполагается, что

матрица $A$ — гурвицева,
пара $(A,B)$ управляема,
пара $(A,C)$ наблюдаема,
функция $\psi$ лежит в секторе $[0,k]$ для некоторого положительного числа $k$ , то есть

\psi (y)[\psi (y)-ky]\leqslant 0,\ \forall y\in \mathbb {R} .

Тогда если найдётся такое неотрицательное число $\eta$ , что число $-1/\eta$ не является собственным числом $A$ и

{\mbox{Re}}\left(1+(1+i\eta \omega )kG(i\omega )\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} ,

где $G(s)=C(sE-A)^{-1}B$ — передаточная функция системы, то система абсолютно устойчива, то есть она равномерно асимптотически устойчива с любой нелинейностью $\psi$ , удовлетворяющей секторному условию^[2]^[3].

С использованием формулы $G(i\omega )={\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)+i{\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)$ можно привести указанное неравенство к следующему виду:

{\dfrac {1}{k}}+{\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)-\eta \omega {\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} .

Если построить график левой части неравенства как функции от $\omega$ , используя в качестве оси абсцисс ${\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)$ , а в качестве оси ординат $\omega {\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)$ , то неравенство будет выполняться, если график будет лежать справа от прямой, проходящей через точку $(-1/k,0)$ с угловым коэффициентом $1/\eta$ . Такой способ изображения называется годографом Попова (сравни с годографом Найквиста)^[4].