Коллинеарность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Два коллинеарных противоположно направленных вектора

Коллинеа́рность (от лат. colсовместность и лат. linearisлинейный) — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой[1]. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Основное обозначение — ; сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются как , противоположно направленные — .

  • Отношение коллинеарности рефлексивно ().
  • Отношение коллинеарности симметрично ().
  • Отношение коллинеарности ненулевых векторов транзитивно: если и , то .
  • Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
  • Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
  • Если и , то существует действительное число такое, что (причём , если векторы сонаправлены, и , если они противонаправлены). Это соотношение также может служить критерием коллинеарности.
  • Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
  • Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0. На плоскости два неколлинеарных вектора и образуют базис. Это значит, что любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.
  • Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению их длин (взятых со знаком «минус», если векторы противоположно направлены).
  • Векторное произведение коллинеарных векторов равно 0 — необходимое и достаточное условие коллинеарности.

Критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют точки, которые лежат на одной прямой[1].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 А.Б.Иванов. Коллинеарные векторы // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.