Кинематика твёрдого тела

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Кинема́тика твёрдого тела (от др.-греч. κίνημα — движение) — раздел кинематики, изучающий движение абсолютно твёрдого тела (системы материальных точек с неизменными расстояниями), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта, относительно которой описывается движение.

Описание движения

[править | править код]

Особенность твёрдого тела позволяет ввести связанную с ним ортонормированную систему координат с центром в точке (произвольной точке, связанной с этим телом). Тогда в абсолютной ортонормированной системе , координату произвольной точки твёрдого тела можно выразить:

, причём т.к. тело абсолютно твёрдое: , но .

Пусть . В частности, преобразование можно задать с помощью углов Эйлера.

Так как базисы ортонормированы, ортогональна, вследствие чего .

Скорость произвольной точки тела тогда:

Дифференцирование приводит , что означает антисимметричность , которую можно записать

Обозначения мотивированы введением (вектора угловой скорости). Тогда:

Полученные выражения иначе называют формулами Пуассона.

Формула Эйлера

[править | править код]

Формула Эйлера фиксирует связь между скоростями различных точек твёрдого тела:

  • Если , то .
  • инвариантен по отношению к выбору подвижной системы координат.
  • Вектор угловой скорости связан с полем скоростей точек тела .

Формула Ривальса

[править | править код]

Формула Ривальса связывает ускорения различных точек твёрдого тела.

Для (вектора углового ускорения), с учётом того, что , дифференцирование формулы Эйлера приводит к:

Последний член в формуле Ривальса определяет осестремительное ускорение.

Сложное движение

[править | править код]

Для случаев затруднительного описания движения твёрдого тела относительно неподвижной СО, вводятся формулы сложного движения (т.е. описывающие движение относительно подвижной СО).

Для абсолютной системы отсчёта и подвижной .

Радиус-вектор к точке в абсолютной СО равен сумме относительного радиус-вектора и переносного

Формула сложения скоростей

[править | править код]

Дифференцирование по времени формулы для радиус-вектора приводит к формуле сложения скоростей

, где — угловая скорость вращения подвижной СО.
  • — абсолютная скорость точки ,
  • — относительная скорость,
  • Слагаемое же называют переносной скоростью, которая связана с изменением положения подвижной СО.

Формула сложения ускорений

[править | править код]

Повторное дифференцирование даёт

, где — угловое ускорение подвижной СО.
  • — абсолютное ускорение,
  • — относительное ускорение,
  • — переносное ускорение,
  • кориолисово ускорение.

Сложение угловых скоростей

[править | править код]

Запись формулы Эйлера в подвижной СО, вращающейся с угловой скоростью (само тело здесь вращается с ) приводит к:

, что верно для произвольного выбора точек , откуда

Иначе, абсолютная угловая скорость равна сумме относительной и переносной.

Качественный анализ возможных движений

[править | править код]
  • Мгновенно-винтовое движение, характеризуемое тем, что найдётся (мгновенно-винтовая ось), такая что для всякой точки . В каждый момент времени всякое движение можно представить мгновенно-винтовым.
  • Мгновенно-поступательное движение характеризуется тем, что , в таком случае скорости всех точек тела одинаковы (в данное мгновение).
  • Мгновенно-вращательное движение, частный случай мгновенно-винтового, т.е. найдётся такая что все точки на ней неподвижны. Прямая в таком случае — мгновенная ось вращения.
  • Плоско-параллельное движение осуществляется, если каждая точка тела движется параллельно неподвижной плоскости (пусть ), тогда . По аналогии с мгновенно-винтовой осью, для плоско-параллельного движения можно выбрать мгновенный центр скоростей — мгновенно-неподвижную точку . Положение меняется как в неподвижной, так и в подвижной (связанной с телом) системах координат. Для геометрического места точек мгновенного центра скоростей в неподвижной СО употребляют термин неподвижная центроида, тогда как в подвижной СО, соответственно, подвижная центроида.
  • Вращение вокруг неподвижной точки. По формуле Эйлера, если неподвижна, то неподвижна и (мгновенная ось вращения). Геометрическое место осей вращения называют неподвижной и подвижной аксоидами (в зависимости от рассматриваемой СО)

Кинематические формулы Эйлера

[править | править код]

В случае, если переход к подвижной СО выполнен с помощью углов Эйлера, справедливы следующие формулы для компонент угловой скорости:

— угол прецессии, — угол нутации, — угол собственного вращения.

Литература

[править | править код]
  • Теоретическая механика/Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. — М., 2010.
  • Общий курс физики Т.I. Механика/Сивухин Д.В. — М., 1979. — $7, с. 45-47