Граница (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Грани́ца мно́жества Aмножество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Определение

[править | править код]

Пусть дано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Пусть рассматривается множество Тогда точка называется грани́чной то́чкой мно́жества , только если для любой её окрестности целиком лежащей в этом топологическом пространстве, справедливо:

и одновременно с этим

Множество всех граничных точек множества называется границей множества (в ) и обозначается или если необходимо подчеркнуть, что граница рассматривается относительно объемлющего пространства .

  • замкнутое множество;
  • открытое множество тогда и только тогда, когда
  • замкнутое множество тогда и только тогда, когда
  • — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда
  • , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим числовую прямую со стандартной топологией. Тогда: для :

  • Для :

При этом очень существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества.

Например, дана стандартная топология на Тогда граница открытого круга относительно этой топологии равна окружности потому что окрестность, с помощью понятия которой и определяется граница множества, является плоской фигурой (окрестностью может служить, например, круг с любым ненулевым радиусом) и для того, чтобы любая окрестность граничной точки могла пересекаться как с кругом так и с его дополнением граничная точка должна быть на окружности

Если же рассмотреть стандартную топологию на то границей открытого круга будет замкнутый круг поскольку внутри окрестность является уже 3-мерной фигурой (допустим, шаром), а дополнением круга относительно уже является . Соответственно, в таком случае под определение граничной точки открытого круга уже будет попадать не только любая точка окружности но и любая точка исходного множества