Биномиальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Биномиальное распределение
Probability mass function for the binomial distributionФункция вероятности
Probability mass function for the binomial distributionФункция распределения
Обозначение
Параметры — число «испытаний»
— вероятность «успеха»
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана одно из
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Биномиа́льное распределе́ние с параметрами и в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .

Определение

[править | править код]

Пусть  — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром , то есть при каждом величина принимает значения («успех») и («неудача») с вероятностями и соответственно. Тогда случайная величина

имеет биномиальное распределение с параметрами и . Это записывается в виде:

.

Случайную величину обычно интерпретируют как число успехов в серии из одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

где

 — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

[править | править код]

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

,

где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число , или в виде неполной бета-функции:

.

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,
,

а дисперсия случайной величины.

.
Пример биноминального распределения

Свойства биномиального распределения

[править | править код]
  • Пусть и . Тогда .
  • Пусть и . Тогда .

Связь с другими распределениями

[править | править код]
  • Если , то получаем распределение Бернулли.
  • Если большое, то в силу центральной предельной теоремы , где  — нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .
  • Если большое, а  — фиксированное число, то , где  — распределение Пуассона с параметром .
  • Если случайные величины и имеют биномиальные распределения и соответственно, то условное распределение случайной величины при условии – гипергеометрическое .