ПИД-регулятор

Схема, иллюстрирующая принцип работы ПИД-регулятора. Коэффициенты перед интегралом и производной опущены для большей наглядности иллюстрации.

Пропорционально-интегрально-дифференцирующий регулятор (ПИД) регулятор — устройство в управляющем контуре с обратной связью. Используется в системах автоматического управления для формирования управляющего сигнала с целью получения необходимых точности и качества переходного процесса. ПИД-регулятор формирует управляющий сигнал, являющийся суммой трёх слагаемых, первое из которых пропорционально разности входного сигнала и сигнала обратной связи (сигнал рассогласования), второе — интегралу сигнала рассогласования, третье — производной сигнала рассогласования.

Если какие-то из составляющих не используются, то регулятор называют пропорционально-интегрирующим, пропорционально-дифференцирующим, пропорциональным и т. д.

Общие сведения

Пропорциональная составляющая

Пропорциональная составляющая вырабатывает выходной сигнал, противодействующий отклонению регулируемой величины от заданного значения, наблюдаемого в данный момент времени. Он тем больше, чем больше это отклонение. Если входной сигнал равен заданному значению, то выходной равен нулю.

Однако при использовании только пропорционального регулятора значение регулируемой величины никогда не стабилизируется на заданном значении. Существует так называемая статическая ошибка, которая равна такому отклонению регулируемой величины, которое обеспечивает выходной сигнал, стабилизирующий выходную величину именно на этом значении. Например, в регуляторе температуры выходной сигнал (мощность нагревателя) постепенно уменьшается при приближении температуры к заданной, и система стабилизируется при мощности, равной тепловым потерям. Температура не может достичь заданного значения, так как в этом случае мощность нагревателя станет равна нулю, и он начнёт остывать.

Чем больше коэффициент пропорциональности между входным и выходным сигналом (коэффициент усиления), тем меньше статическая ошибка, однако при слишком большом коэффициенте усиления при наличии задержек (запаздывания) в системе могут начаться автоколебания, а при дальнейшем увеличении коэффициента система может потерять устойчивость.

Интегрирующая составляющая

Интегрирующая составляющая пропорциональна интегралу по времени от отклонения регулируемой величины. Её используют для устранения статической ошибки. Она позволяет регулятору со временем учесть статическую ошибку.

Если система не испытывает внешних возмущений, то через некоторое время регулируемая величина стабилизируется на заданном значении, сигнал пропорциональной составляющей будет равен нулю, а выходной сигнал будет полностью обеспечиваться интегрирующей составляющей. Тем не менее, интегрирующая составляющая также может приводить к автоколебаниям при неправильном выборе её коэффициента.

Дифференцирующая составляющая

Дифференцирующая составляющая пропорциональна темпу изменения отклонения регулируемой величины и предназначена для противодействия отклонениям от целевого значения, которые прогнозируются в будущем. Отклонения могут быть вызваны внешними возмущениями или запаздыванием воздействия регулятора на систему.

Теория

Система управления с обратной связью с участием ПИД-регулятора. Система управляет величиной y(t), то есть выводит величину y(t) на заданное извне значение r(t). На вход ПИД-регулятора подаётся ошибка e(t), выход ПИД-регулятора является управляющим воздействием u(t) для некоторого процесса (для объекта управления), управляющего величиной y(t).

Влияние изменения параметров PID (K_p,K_i,K_d) на переходную характеристику системы.

Назначение ПИД-регулятора — в поддержании заданного значения r некоторой величины y с помощью изменения другой величины u. Значение r называется заданным значением (или уставкой, в технике), а разность e = (r − y) — невязкой (или ошибкой [регулирования], в технике), рассогласованием или отклонением величины от заданной. Приведённые ниже формулы справедливы в случае линейности и стационарности системы, что редко выполняется на практике.

Выходной сигнал регулятора u определяется тремя слагаемыми:

$u(t)=P+I+D=K_{p}\,{e(t)}+K_{i}\int \limits _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{d}{\frac {de}{dt}}$,

где К_p, К_i, К_d — коэффициенты усиления пропорциональной, интегрирующей и дифференцирующей составляющих регулятора соответственно.

Большинство методов настройки ПИД-регуляторов используют несколько иную формулу для выходного сигнала, в которой на пропорциональный коэффициент усиления умножены также интегрирующая и дифференцирующая составляющие:

$u(t)=K_{p}\left(\,{e(t)}+K_{ip}\int \limits _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{dp}{\frac {de}{dt}}\right)$

В дискретной реализации метода расчета выходного сигнала уравнение принимает следующую форму:

$U(n)=K_{p}E(n)+K_{p}K_{ip}T\sum _{k=0}^{n}{E(k)}+{\frac {K_{p}K_{dp}}{T}}(E(n)-E(n-1))$,

где $T$ — время дискретизации. Используя замену $K_{i}^{discr}=K_{p}K_{ip}T,K_{d}^{discr}={\frac {K_{p}K_{dp}}{T}}$ можно записать:

$U(n)=K_{p}E(n)+K_{i}^{discr}\sum _{k=0}^{n}{E(k)}+K_{d}^{discr}(E(n)-E(n-1))$

В программной реализации для оптимизации расчетов переходят к рекуррентной формуле:

$U(n)=U(n-1)+K_{i}^{discr}{E(n)}+K_{p}(E(n)-E(n-1))+K_{d}^{discr}(E(n)-2E(n-1)+E(n-2))$

Часто в качестве параметров ПИД-регулятора используются:

• относительный диапазон

$P_{b}={\frac {1}{K_{p}}}$

• постоянные интегрирования и дифференцирования, имеющие размерность времени

$T_{i}={\frac {1}{K_{ip}}}$

$T_{d}={K_{dp}}\;$

Следует учитывать, что термины используются по-разному в различных источниках и разными производителями регуляторов.

Недостатки использования ПИД-регуляторов

При использовании ПИД-регулятора в системе регулирования, следует учитывать нежелательные эффекты, возникающие при реализации канала производной сигнала ошибки έ(t). Недостатки проявляются из-за того, что при усилении этого канала прямо пропорционально возрастает частота. Основными недостатками при этом являются:

• Повышенное усиление высокочастотных составляющих сигнала ошибки. Они носят шумовой характер и из-за этого отношение полезной составляющей управляющего сигнала к шумовой уменьшается, что дестабилизирует объект управления.
• Возникновение импульсов большой амплитуды. Такое явление возникает в моменты скачкообразного изменения ошибки, несмотря на медленное изменение сигнала системы и в связи со скачкообразными изменениями сигнала установки и его проникновением на вход дифференциатора.

Практика применения

Теоретические методы анализа системы с ПИД-регулятором редко применяются на практике. Основная сложность практического применения — незнание характеристик объекта управления. Кроме того, существенную проблему представляют нелинейность и нестационарность системы. Практические регуляторы работают в ограниченном сверху и снизу диапазоне, поэтому в принципе нелинейны. В этой связи получили распространение методы экспериментальной настройки регулятора, подключенного к объекту управления. Прямое использование формируемой алгоритмом управляющей величины также имеет свою специфику. Например, при регулировке температуры часто управляют не одним, а двумя устройствами, одно из них управляет подачей горячего теплоносителя для нагрева, а другое управляет хладагентом для охлаждения. Часто рассматриваются три варианта практических регуляторов. В первом варианте, наиболее близком к теоретическому описанию, выход регулятора — непрерывная аналоговая ограниченная величина. Во втором случае выход представляет собой поток импульсов, который может управлять шаговым двигателем. В третьем случае выходной управляющий сигнал регулятора используется для широтно-импульсной модуляции.

В современных системах автоматизации, которые, как правило, строятся на базе PLC ПИД-регуляторы реализуются либо как специализированные аппаратные модули, включаемые в состав управляющего контроллера, либо программными методами, с применением специализированных библиотек. Производители контроллеров часто разрабатывают специализированное ПО (тюнеры) для настройки коэффициентов регулятора.

Методы параметрической оптимизации

В общем случае решение задачи параметрической оптимизации осуществляется путем перебора определенным образом выбираемых вариантов значений параметров, сравнения их между собой и выбора наилучшего варианта. Алгоритм выбора очередного варианта значений параметров носит название стратегии поиска.

Все методы параметрической оптимизации, используемые для настройки коэффициентов регулятора, можно классифицировать следующими признаками.

1.Точные

• Поисковые
• Беспоисковые

2. Приближенные

• Работающие онлайн (реального времени)
• Работающие офлайн

Метод Дудникова Е. Г.

Метод относится к точным поисковым методам оптимизации. Наиболее совершенный метод настройки регуляторов, который дает оценку запаса устойчивости по распределению корней характеристического уравнения. Системы управления должны иметь определённый запас устойчивости, соответственно иметь интенсивность ослабления вибрации и колебаний. Степень затухания колебаний зависит от пары комплексных корней характеристического уравнения. Они связаны определённым соотношением и в нём присутствует корневой показатель колебательности.

Благодаря большому количеству достоинств метод признан традиционным. Он подходит как для настройки одноконтурных так и многоконтурных систем. Он надежен и достоверно проверен, однако имеет и недостатки. Основными из них являются: отсутствие рекомендаций по настройке алгоритмов ПДД и ПИДД-регуляторов и необходимость проведения итерационной процедуры поиска настроек при минимизации квадратичного критерия качества.

Метод Ротача В. Я.

Метод Ротача относится к точным поисковым методам. Имеет идеологическую схожесть с методом Дудникова Е. Г. В нём рассматривается оценка запаса устойчивости систем управления по частотным характеристикам. Была выведена следующая закономерность: замкнутый контур будет удовлетворять требуемому запасу устойчивости, если комплексно-частотная характеристика разомкнутого не пересекает область, которая ограничена окружностью, характеризующую частотный показатель колебательности. Метод обладает следующими недостатками: не дает рекомендаций по расчету ПД, ПДД и ПИДД алгоритмов, не удовлетворяет результаты по запасу устойчивости и требует определённого количества итерационных процессов поиска.

Метод В. Р. Сабанина и Н. И. Смирнова

Метод классифицируется как точный поисковой метод. Вычисляются значения целевой функции в соответствии с имитационной моделью системы регулирования. Обеспечить необходимый запас устойчивости помогает частотный показатель колебательности. Определяется как максимальная частотная характеристика замкнутого АЧХ на резонансной частоте. Для оценки качества регулирования в цифровой процедуре оптимизация использует интегральный модульный критерий. Большим достоинством является возможность расчета подстроечных коэффициентов для алгоритмов ПИДД регулирования. К недостаткам относится: необходимость наличия специализированной программы для расчета и неизвестность изначального значения показателя колебательности.

Метод многомерного сканирования Вишняковой Ю. Н.

Метод также принадлежит группе поисковых точных методов. Суть метода многомерного сканирования заключается в последовательном переборе точек в пространстве параметров конфигурации. Шаг фиксируется и расчет проводится в каждой точке критерия оптимизации и проверки ограничений запаса устойчивости для всех составляющих системы. Затем из полученного массива параметров выбираются значения, при которых достигается наименьший минимум. Эти параметры будут оптимальными. Метод многомерного сканирования требует множественных вычислений (особенно, когда дело доходит до поиска глобального минимума в мультиэкстремальных проблемах) из-за необходимости повторять вычисления несколько раз в одном и том же алгоритме. Это является главным недостатком.

Метод определения настроек по номограммам

Этот метод последний представитель точных поисковых методов. Существуют номограммы для определения настроек И- П- ПИ- и ПИД-регуляторов для объекта 1-го и 2-го порядка с запаздыванием. Номограммы позволяют определить предварительные настройки регуляторов устойчивых и нейтральных объектов для переходных процессов: апериодический, с 20%-ным перерегулированием, с минимальной квадратичной площадью отклонения. Достоинством метода является точность определения настроек регулятора, в связи с учётом нелинейной зависимости между параметрами настройки регулятора и величиной отношения величины запаздывания к постоянной времени объекта.

Метод масштабирования

Метод относится к условно беспоисковым методам. Суть метода заключается в использовании имеющийся информации об эталонной САР с другим объектом управления, но с тем же регулятором, что и в настраиваемой замкнутой системе. Алгоритм состоит из следующих этапов:

1. Аппроксимация эталонного и действительного объектов управления математической моделью.
2. Введение искусственной системы координат и определение масштабных коэффициентов, связывающих между собой координаты реальной и искусственной систем.
3. Перевод эталонных настроек регулятора из искусственной системы координат в реальную с помощью ранее определённых масштабных коэффициентов.

Основным недостатком является необходимость наличия эталонных САР. А основным достоинством является универсальность метода для любого закона регулирования без исключения.

Метод Циглера-Никольса

Этот метод представляет собой приближенный метод настройки. Является одним из наиболее известных. Принцип настройки состоит в следующем: необходимо вывести систему на границу устойчивости, пока в контуре не возникнут незатухающие колебания. Автоколебания достигаются за счет нулевого значения И- и Д- составляющих и путем подбора коэффициента передачи. Зафиксировав значение коэффициента передачи, период автоколебаний и амплитуду, по эмпирическим формулам вычисляются параметры настройки регулятора. Достоинством метода является его простота, а основным недостатком — неучитывание требований к запасу устойчивости.

Метод Чина-Хронеса-Ресвика

Метод Чина-Хронеса-Ресвика является модифицированным методом Циглера-Никольса. Он позволяет получить больший запас устойчивости, но меньший коэффициент передачи. Настройки по Чину-Хронесу-Ресвику требуют подстройки преимущественно дифференциальной составляющей. Основными преимуществами является простота настройки и меньшее время настройки. Недостатки схожи с методом Циглера-Никольса: неполнота информации о запасе устойчивости системы, который определяет надёжность работы регулятора, и приближенная настройка.

Метод Куна — «правило Т-суммы»

Метод относится к методам офлайн настройки. Он ориентирован на объекты с S-образной переходной характеристикой. Параметром, характеризующим быстродействие рассматриваемых объектов, является суммарная постоянная времени TΣ. Эта величина TΣ может быть получена непосредственно из ответной реакции на ступенчатый входной сигнал системы. При этом TΣ прямо пропорционально площади над S-образной переходной характеристикой. Преимущественно, что величину TΣ можно определить при значительных помехах в измерении. Преимуществами являются быстрая настройка и достаточно хорошие результаты (в связи с «осторожной настройкой»), но при высоком порядке системы есть заметное перерегулирование.

Метод Латцеля — бетрагсадаптация

Используя метод Латцеля — бетрагсадаптация нельзя напрямую определить параметры настройки системы имея ее переходную функцию. Такая возможность отсутствует, так как этот метод относится к табличным.

Поиск параметров регулятора происходит путем расчета характеристических коэффициентов, которые получают в процессе интегрирования переходной функции. Этот метод неудобен для ручной настройки регуляторов. Достоинством метода является возможность настройки адаптивных приборов регулирования, а также обеспечение высокой точности настройки. Основной недостаток: трудоемкость из-за использования табличной информации.

Метод координатного спуска

См. также

• АРУ

Ссылки

• Принципы работы ПИД-регуляторов
• Перевод статьи «Просто о ПИД-алгоритмах» Архивная копия от 9 января 2019 на Wayback Machine