Сходимость в Lp

Сходи́мость в $L^{p}$ в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство с мерой. Тогда пространство $L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ измеримых функций, таких что их $p$-я степень, где $p\geqslant 1$, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

$d(f,g)=\|f-g\|_{p}\equiv \left(\,\int \limits _{X}|f(x)-g(x)|^{p}\,\mu (dx)\,\right)^{1/p}$.

Пусть дана последовательность $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в $L^{p}$ к функции $f\in L^{p}$, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

$\lim \limits _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=0$.

Пишут: $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$. Иногда также используют обозначение $f(x)=\mathop {\mathrm {l.i.m.} } _{n\to \infty }f_{n}(x)$ — от англ.  англ. limit in mean .

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ сходится к $X$ из того же пространства, если

$\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} |X_{n}-X|^{p}=0$.

Пишут: $X_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}X$.

Терминология

• Сходимость в пространстве $L^{1}$ называется сходимостью в среднем.
• Сходимость в пространстве $L^{2}$ называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в $L^{p}$

• Единственность предела. Если $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$ и $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}g$, то $f=g$ $\mu$-почти всюду ($\mathbb {P}$-почти наверное).

• Пространство $L^{p}$ полно. Если $\|f_{n}-f_{m}\|_{p}\to 0$ при $\min(n,m)\to \infty$, то существует $f\in L^{p}$, такой что $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$.

• Сходимость в $L^{p}$ влечёт сходимость по мере (по вероятности). Если $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$, то $f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f$.