Предел вдоль фильтра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Предел по базе»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Предел вдоль фильтра (предел по базису фильтра, предел по базе) — обобщение понятия предела.

Определение фильтра

[править | править код]

Пусть дано множество Непустая система подмножеств множества называется базисом фильтра (базой) множества , если

  • для любого выполнено
  • для любых существует такое, что

Определение предела

[править | править код]

Везде далее  — базис фильтра (база) множества .

Предел числовой функции

[править | править код]

Пусть . Число называется пределом функции по базе если

для любого существует такое, что для всех выполнено неравенство

Обозначение предела по базе:

Предел функции со значениями в метрическом пространстве

[править | править код]

Пусть  — метрическое пространство и . Точка называется пределом функции по базе если

для любого существует такое, что для всех выполнено неравенство

Обозначение:

Предел функции со значениями в топологическом пространстве

[править | править код]

Пусть  — топологическое пространство и . Точка называется пределом функции по базе если

для любой окрестности точки существует такое, что , то есть для всех выполняется включение .

Обозначение:

Замечание. Последнее «равенство» корректно использовать лишь в случаях, когда пространство  — хаусдорфово. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).

Обычный предел

[править | править код]

Пусть  — топологическое пространство, и Пусть Тогда система множеств

является базисом фильтра множества и обозначается или просто Предел функции по базе множества называется пределом функции в точке и обозначается записью .

Односторонние пределы

[править | править код]
  • Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается или Предел называется правосторонним пределом функции при стремящемся к

  • Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается или Предел называется левосторонним пределом функции при стремящемся к

Пределы на бесконечности

[править | править код]
  • Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается или Предел называется пределом функции при стремящемся к бесконечности.

  • Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается Предел называется пределом функции при стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

[править | править код]

Система множеств где

является базисом фильтра и обозначается Функция называется числовой последовательностью, а предел пределом этой последовательности.

Интеграл Римана

[править | править код]

Пусть Назовём размеченным разбиением отрезка пару такую, что Назовём диаметром разбиения число Тогда система множеств где

является базисом фильтра в пространстве всех размеченных разбиений Определим функцию равенством

Тогда предел называется интегралом Римана функции на отрезке

Литература

[править | править код]
  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах), — М.: Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.